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摘要：由消点法证明平面几何问题得到启发，利用向量特有的线性运算将题目涉及的点逐步消去简化问题，或者构造封闭回路，绕开困难点，利用一些几何关系，通过数量积的工具最终达到消点（向量）的目的，从而解决问题．
关键词：消点法 平面向量 几何关系
消点法是张景中院士提出来的一种机械证明平面几何问题的方法，其基本思想就是通过面积工具，将问题涉及的点逐步消去，从而简化图形，解决问题．特别是问题涉及一些位置很难刻画的点的时候，利用消点法处理尤为方便．平面向量中也会经常遇到涉及点多而复杂、或者点的位置难以刻画的问题，使得问题的求解变得困难．从消点法证明平面几何问题的思想中得到启发，利用向量特有的线性运算将题目涉及的点逐步消去简化问题，或者构造封闭回路，绕开困难点，利用一些几何关系，通过数量积的工具最终达到消点（向量）的目的，从而使得问题迎刃而解．
1 利用线性运算消点
例1（2018辽宁联考）已知 是平面上不共线的三点， 是 的重心，动点 满足 ，则 一定为 的（ ）
(A) 边中线的三等分点（非重心）
(B) 边的中点
(C) 边中线的中点
(D)重心
分析该题所涉及的点有 五个点，由于点比较多，使得不容易直接得到点 与 的位置关系，故先试图消去一些点．
解先把 化为整系数方程式，得 ，从而 ，所以 ，作 的中点为 ，则 ，即 ，所以点 为 边中线的三等分点（非重心）．
点评观察所给向量方程式系数的关系，发现等号两边系数是“平衡”（系数和相等）的，则可以通过适当拆分向量，利用向量加、减法运算，可以逐步消去点 ，从而得到 的关系，问题得解．事实上，题中所给的条件“ 是 的重心”是多余的．
例2（2014高考湖南（理））在平面直角坐标系中， 为原点， ， ， ，动点 满足 ，则 的最大值是 ．
分析问题 所涉及点较多，向量 不容易表示，故试图消去一些点，简化目标向量是一个基本思路．

图1

解如图1， ，记点 关于原点的对称点为 ，则
，
那么 ，
所以 ．
点评利用向量的线性运算，逐步消去点 ，将目标向量 简化为向量 ，从而转化为圆上一点到定点 的距离求最大值．
例3（2016高考四川（理））在平面内，定点 满足 ， ，动点 满足 ， ，则 的最大值是（ ）
(A) (B) (C) (D)

图2

分析由 及 ，不难得到 为 外接圆圆心，且半径为2， ．题中点 的位置较难刻画，故可以试图利用向量的线性运算，消去点 ． 解如图2，延长 交圆 与点 ，



．
所以，
，当且仅当 与 同向时等号成立，故 的最大值是为 ．
点评通过向量的线性运算，逐步将向量 转化为 ，从而实现了消去点 的想法，又 的模已知，故易求出 的最大值．
2 利用特殊的几何关系消点

图3

2.1 利用中线消点 例4（2018高考天津（理））如图3，在平面四边形 ABCD中，
， ， ， .
若点 E为边 CD上的动点，则 的最小值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
分析此题易想到用基底法来求解，即将 , 用基底 ， 表示，但从点 的位置可以看出表示 , 比较困难，尝试重新构造闭合回路，消去点 ．

图4

解如图4，作 的中点 ，连接 ，则 , .


.
所以，只要求出 的最小值，即点 到 的距离，至此，就彻底消掉了点 ．过点 作 的垂线，垂足为 ，由几何关系易求得 ,所以 的最小值为 ．
点评通过中线 ，构造闭合回路，于是 , ，在计算数量积 时，因为中点的性质所以有 ，这对于消去点 起到了关键作用．
2.2 利用中垂线消点
例5（2018浙江温州一模）已知△ 的边 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的值为（ ）
(A) (B) (C) (D)

图5

分析点 是 的垂直平分线与 的交点，无法刻画该点，所以 无法用基底 ， 表示，故只能通过构造闭合回路，绕开点 ，并试图消去 点． 解如图5，连接 ，则 ，


．
点评通过中线 ，中垂线 ，构造闭合回路，于是 ，在计算数量积 时，由于中垂线的性质，有 ，从而消掉点 ．
例6（2018南昌市重点中学高三段考）已知△ 中， ， ，点 为△ 所在平面内一点，满足 ，则 ．
分析由题意， 是△ 外接圆的圆心，若考虑用 ， 作基底，由于 位置的特殊性， 难以用 ， 表示出来．故只能通过构造闭合回路，绕开点 ，并试图消去 点．

图6

如图6，作 的中点 ，连接 ， ，则 是 的垂直平分线， 为△ 中 边上的中线，于是 ，

，
所以， ．
点评此题的中垂线是隐含条件，通过中线 ，中垂线 ，构造闭合回路，于是 ，在计算数量积 时，利用 ，则有 ，从而消掉点 ．
2.3 利用直角消点
例3 解法2如图7，延长 交圆周于点 ，连 ，则 ，
则 在 方向上的投影为 ，
在 方向上的投影为 ，

图7

从而 ，
所以 .
点评通过延长 到 ，将 转化为 ，从而消去位置难以刻画的点 ，再利用圆内直角关系，很容易求出 ，问题得解．
2.4 利用中点消点（向量）

图8

例7如图8，已知等边 的边长为2，圆 的半径为1， 为圆 的任意一条直径．求 的最大值． 分析本题涉及的两个向量 不能直接求数量积，则可以考虑利用题目隐含的中点关系，转化向量，从而消去向量 ．
解作 中点 ，连接 ，则有：





，当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为3．
点评此题求解的关键是利用两个中点关系 ，最终将两个不知道模和夹角的向量 的数量积转化成了 ，整个求解的思路就是消点 （ ）．
古人云，三十六计走为上计．就是告诉人们，遇到问题和困难不要盲目死磕，要学会审时度势，避其锋芒，迂回前进．向量最大的特点就是能够“绕来绕去”，是能够实现迂回前进的有效工具．平面向量问题中常常遇到涉及的点较多，或者点位置难以刻画的问题，这时候不要强行试图利用基底表示相关向量，而要巧妙利用向量的线性运算法则，以及题目中一些特殊的几何关系，逐步消点，从而化繁为简，或者避开位置难以刻画的点，将难以表示的向量转化为已知向量，便能有效解决问题．