2019高二理科数学适应性测试（二）

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2019高二期末适应性测试试卷理科数 学（二）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数

等于（）
A．

B．

C．

D．

2．已知集合

，

，则

（）
A．

B．

C．

D．

3．函数

的图象是（）
A．

B．

C．

D．

4．已知两个单位向量

和

夹角为

，则向量

在向量

方向上的投影为（）
A．

B．

C．

D．

5．已知双曲线

的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）
A．

B．

C．

D．

6．在

中，

，

，则角

等于（）
A．

或

B．

C．

D．

7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入

，则输出的结果为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（）
A．

B．

C．

D．

9．在长方体

中，

，

与

所成的角为

，则

（）
A．

B．3 C．

D．

10．将函数

的图象向左平移

个单位，得到函数

的图像，若

在

上为增函数，则

的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．函数

对任意的实数

都有

，若

的图像关于

对称，且

，则

（）
A．0 B．2 C．3 D．4
12．设

，

分别为椭圆

的右焦点和上顶点，

为坐标原点，

是直线

与椭圆在第一象限内的交点，若

，则椭圆的离心率是（）
A．

B．

C．

D．

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．曲线

在点

处的切线方程为__________．
14．若变量

，

满足约束条件

，则

的取值范围是__________．
15．已知

，

，则

__________．
16．四棱锥

中，底面

是边长为2的正方形，侧面

是以

为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥

的体积取值范围为

，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）设

为数列

的前

项和，已知

，

．
（1）证明：

为等比数列；
（2）求

的通项公式，并判断

，

是否成等差数列？

18．（12分）已知函数 f( x)＝sin ² x－cos ² x＋2sin xcos x( x∈ R).
(1)求 f( x)的最小正周期；
(2)在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 f( A)＝2，
c＝5，cos B＝，求△ ABC中线 AD的长.

19．（12分）某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：

（1）可用线性回归模型拟合

与

之间的关系吗？如果能，请求出

关于

的线性回归方程，如果不能，请说明理由；
（2）公司决定再采购

，

两款车扩大市场，

，

两款车各100辆的资料如表：

平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？
参考数据：

，

．
参考公式：相关系数

；
回归直线方程

，其中

，

．

20．（12分）如图，在四棱锥

中，

底面

，

，点

为棱

的中点．
（1）证明：

；
（2）若

为棱

上一点，满足

，求二面角

的余弦值．

21．（12分）已知

的直角顶点

在

轴上，点

，

为斜边

的中点，且

平行于

轴．
（1）求点

的轨迹方程；
（2）设点

的轨迹为曲线

，直线

与

的另一个交点为

．以

为直径的圆交

轴于

、

，记此圆的圆心为

，

，求

的最大值．

22．（12分）设函数

，

.
（1）若函数

在

上单调递增，求实数

的取值范围；
（2）求函数

的极值点.
（3）设

为函数

的极小值点，

的图象与

轴交于

两点,且

，

中点为

，求证：

．

2019高二期末适应性测试试卷
理科数 学（二）答 案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】

，故选C．
2．【答案】C
【解析】

集合

，

，
∴

，故选C．
3．【答案】B
【解析】由题得

，所以函数

是偶函数，
所以图像关于y轴对称，所以排除A，C．由题得

，所以D错误，
故答案为B．
4．【答案】D
【解析】

，
则向量

在向量

方向上的投影为：

．
故选D．
5．【答案】D
【解析】双曲线

的虚轴长是实轴长的2倍，
可得

，解得

，则双曲线的标准方程是

．故选D．
6．【答案】A
【解析】∵

，

，∴由正弦定理得：

．
则

，又∵

，

，∴

或

．
故选A．
7．【答案】C
【解析】输入

，

；

，

；

，

；

，结束运算，输出

，故选C．
8．【答案】C
【解析】由题得恰好是2个白球1个红球的概率为

．故答案为C．
9．【答案】D
【解析】如图所示，连接

，
∵

，∴

是异面直线

与

所成的角，即

，
在

中，

，
在

中，有

，即

．故选D．

10．【答案】B
【解析】函数

，

的图象向左平移

个单位，得

的图象，
∴函数

；
又

在

上为增函数，∴

，即

，解得

，
所以

的最大值为2．故选B．
11．【答案】B
【解析】因为

的图像关于

对称，
所以

的图像关于

对称，即

为偶函数，
因为

，
所以

，所以

，

，
因此

，

，故选B．
12．【答案】A
【解析】根据

，由平面向量加法法则，
则有

为平行四边形

的对角线，故

，
联立椭圆

、直线

方程，可得

，
∵

，则

，

，
可得

，∴

，故选A．

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】

．
【解析】

的导数

，
则在

处的切线斜率为

，切点为

，
则在

处的切线方程为

，即为

．
故答案为

．
14．【答案】

【解析】作出不等式组

对应的平面区域如图所示阴影部分

；

由

得

，即直线的截距最大，

也最大；
平移直线

，可得直线

经过点

时，截距最大，此时

最大，
即

；经过点

时，截距最小，由

，得

，
即

，此时

最小，为

；
即

的取值范围是

，故答案为

．
15．【答案】

【解析】∵

，

，∴

，
则

，解得

．
∴

．
故答案为

．
16．【答案】

【解析】四棱锥

中，
可得：

；

平面

，
过

作

于

，则

平面

，
设

，故

，
所以

，

，
在

中，

，则有，

，
所以

的外接圆半径

，
将该四棱锥补成一个以

为一个底面的直三棱柱，
得外接球的半径

，

，
所以

．故答案为

．

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：∵

，

，∴

，
∴

，∴

，

，
∴

是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，

，∴

，
∴

∴

，即

，

成等差数列．
18．【解析】(1) f( x)＝－cos 2 x＋sin 2 x＝2sin.
∴ T＝＝π.∴函数 f( x)的最小正周期为π.
(2)由(1)知 f( x)＝2sin，
∵在△ ABC中 f( A)＝2，∴sin＝1，
∴2 A－＝，∴ A＝.又cos B＝，∴sin B＝，
∴sin C＝sin( A＋ B)＝×＋×＝，
在△ ABC中，由正弦定理＝，得＝，
∴ a＝7，∴ BD＝.
在△ ABD中，由余弦定理得，
AD ²＝ AB ²＋ BD ²－2 AB· BDcos B
＝5 ²＋－2×5××＝，
因此△ ABC的中线 AD＝.
19．【答案】（1）