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2019高二理科数学适应性测试（一）
时间：2019-09-18 作者：高用 阅读：
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此卷只装订不密封
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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2019高二期末适应性测试试卷
理
科
数
学（一）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
为虚数单位，复数
在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第二象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第三象限
3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为
、
，标准差分别为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
4．已知函数
，则
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量
，
，
，若
，则
等于（ ）
A．
B．2 C．
D．1
6．已知函数
，
的部分图像如图所示，则
，
的值分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若过点
有两条直线与圆
相切，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．运行如图所示的程序框图，若输出的
的值为
，则判断框中可以填（ ）
A．
B．
C．
D．
9．抛物线
的焦点为
，点
，若线段
的中点
在抛物线上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．将半径为3，圆心角为
的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知可导函数
的定义域为
，其导函数
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在题中横线上）
13．已知实数
，
满足约束条件
，则
的最小值是_____．
14．春节期间,某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额
（单位：万元）与当天的平均气温
（单位：℃）有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的
与
的数据列于下表：
| 平均气温（℃） |  |
|
 |
 |
| 销售额（万元） | 20 | 23 | 27 | 30 |
与
之间的线性回归方程
的系数
，
则
________．
15．已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为__________．
16．在直角坐标系
中，如果相异两点
，
都在函数
的图象上，那么称
，
为函数
的一对关于原点成中心对称的点（
，
与
，
为同一对）函数
的图象上有____________对关于原点成中心对称的点．
三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知数列
的前
项和
满足
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前
项和
．
18．（12分）已知 a， b， c分别是△ ABC内角 A， B， C的对边，且满足( a＋ b＋ c)(sin B＋sin C－sin A)＝ bsin C.
(1)求角 A的大小；
(2)设 a＝， S为△ ABC的面积，求 S＋cos Bcos C的最大值.
19．（12分）如图，正三棱柱ABC－A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D为CC 1中点．
（1）求证：AB 1⊥平面A 1BD；
（2）求锐二面角A－A 1D－B的余弦值；
20．（12分）某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试．已知队员的测试分数
与仰卧起坐个数
之间的关系如下：
；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：
（1）计算
值；
（2）以此样本的频率作为概率，求
①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于
的概率；
②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望．
21．（12分）设椭圆
的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为
，
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
，
两点，
与直线
交于点M，且点P，M均在第四象限．若
的面积是
面积的2倍，求
的值．
21．（12分）设函数
.
（1）讨论
的单调性;
（2）若曲线
在
处的切线方程为：
,且
，证明:
>
.
2019高二期末适应性测试试卷
理 科 数 学（一）答 案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】由一元二次不等式的解法可得，
集合
，
，
所以
，故选A．
2．【答案】C
【解析】
，复数
在复平面内对应坐标为
，所以复数
在复平面内对应的点在第四象限，故选C．
3．【答案】C
【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知
，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故
．
故选C．
4．【答案】A
【解析】因为
，所以函数为奇函数，排除B选项，
求导：
，所以函数单调递增，故排除C选项，
令
，则
，故排除D．故选A．
5．【答案】C
【解析】因为
，
，所以
，
，故选C．
6．【答案】C
【解析】因为
，
，
，又因为
，
所以
，
，
，
，
，
，故选C．
7．【答案】D
【解析】由已知圆的方程满足
，则
解得
；
过点有两条直线与圆相切，则点在圆外，代入有
，解得
，
综上实数
的取值范围
，故选D．
8．【答案】A
【解析】运行程序如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故答案为A．
9．【答案】D
【解析】点
的坐标为
，所以
、
中点
的坐标为
，因为
在抛物线上，所以将
的坐标代入抛物线方程可得：
，解得：
或
（舍），
则点
坐标为
，点
的坐标为
，由两点间距离公式可得
．故选D．
10．【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为
，高为
，则
，
，
，
设内切球的半径为
，则
，
，
，
故选A．
11．【答案】B
【解析】∵由正弦定理可得：
，
，
，
∴
，整理可得：
，
∴由余弦定理可得：
，∴由
，可得：
．
故选B．
12．【答案】B
【解析】令
，
，
因为
，
所以
，
因为
在
单调递减，
所以
，故选B．
二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】实数
，
满足约束条件
的可行域如图：
目标函数
，点
，
在点
处有最小值：
，
故答案为
．
14．【答案】
【解析】由题意可得：
，
，
∴
．故答案为
．
15．【答案】
【解析】正视图、侧视图为长方形，俯视图为三角形的几何体为三棱柱，由图形可知面
的面积最大为
．
16．【答案】3
【解析】
关于原点的对称图像的解析式为
，
因此
关于原点对称的点的个数实际上就是
在
上解的个数．又当
时，
，考虑
与
在
上的图像的交点的个数．如下图所示，它们有3个公共点，从而
有3对关于原点对称的点．
三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）
；（2）
．
【解析】（1）当
时，
；当
时，
，符合上式．
综上，
．
（2）
，则
，
，
∴
，
∴
．
18．【解析】 (1)∵( a＋ b＋ c)(sin B＋sin C－sin A)＝ bsin C，
∴根据正弦定理，知( a＋ b＋ c)( b＋ c－ a)＝ bc，即 b 2＋ c 2－ a 2＝－ bc.
∴由余弦定理，得cos A＝＝－.
又 A∈(0，π)，所以 A＝π.
(2)根据 a＝， A＝π及正弦定理
得＝＝＝＝2，
∴ b＝2sin B， c＝2sin C.
∴ S＝ bcsin A＝×2sin B×2sin C×＝sin Bsin C.
∴ S＋cos Bcos C＝sin Bsin C＋cos Bcos C
＝cos( B－ C).
故当 B＝ C＝时， S＋cos Bcos C取得最大值.
19．【答案】（1）见解析；（2）
．
【解析】（1）取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC－A 1B 1C 1中，平面ABC⊥平面BCC 1B 1，∴AO⊥平面BCC 1B 1．
取B 1C 1中点O 1，以O为原点，
，
，
的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系：
，如图所示，则
B(1，0，0)，
D(
1，1，0)，
A 1(0，2，
)，
A(0，0，
)，
B
1(1，2，0)，
∴
，
，
．
∴
，
，
∴
，
，∴
AB
1
平面
A
1
BD
．
（2）设平面 A 1 AD的法向量为
．
，
．
∵
，
，∴
，∴
，
，
令
得
为平面
A
1
AD的一个法向量．
由（1）知 AB 1
平面
A
1
BD，
为平面
A
1
BD的法向量，
∴
．
∴锐二面角 A－ A 1 D－ B的大小的余弦值为
．
20.【答案】（1）
；（2）见解析．
【解析】（1）
，∴
．
（2）由直方图可知，“喵儿”的得分
情况如下：
|
0 | 60 | 80 | 100 |
 |
 |
 |
 |
|
或者第二组得80分，或者第三组得80分，
则
；
②
，
，
，
分布列如下：
 |
0 | 60 | 80 | 100 |
|
 |
 |
 |
 |
．
21．【答案】（1）
；(2)
．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2 c，由已知得
，又由
，可得
．
由
，从而
，
．
所以椭圆的方程为
．
（2）设点 P的坐标为
，点
M的坐标为
，
由题意，
，点
的坐标为
．
由
的面积是
面积的2倍，可得
，
从而
，即
．
易知直线
的方程为
，由方程组
，消去
y，可得
．
由方程组
，消去
，可得
．
由
，可得
，两边平方，整理得
，
解得
，或
．
当
时，
，不合题意，舍去；
当
时，
，
，符合题意．
所以，
的值为
．
22．【解析】（1）
若
，
，
在
上单调递增；
若
，当
时，
，当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）因为曲线
在
处的切线方程为
，
所以
，则
，所以
．
因为
，所以
在
上单调递增，又
，所以
．
要证
>
，
，
即证
，即证
．
设
，
，令
，则
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
．
令
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
．
从而
，即
，证毕．